logo

Doktoranelazım.com sağlık sektöründeki rekabetçi ortamda küçük ve orta büyüklükteki satıcılara eşit imkanlar sağlamak üzerine kuruldu.

(0)
  • No products in the cart.

Corona & Üssel Artış – Corona Hangi Hızda Yayılıyor?

Günlük hayat içinde sıklıkla duyduğumuz matematik terimleri vardır. Özellikle artış miktarı bildirmemiz gerektiğinde ve özellikle büyük miktarda artış ise matematiksel bir dil kullanmaktan başka bir yolumuz yok demektir. Bu durum birçok defa duyduğumuz matematik bir dildir ifadesinin önemini anlamamızı sağlıyor.

Son günlerimizin mutlak gündemi olan Covid-19 virüsü ve pandemi ile TV’den ve sosyal medyadan hastalığın yayılma hızıyla ilgili sayısal verileri takip ediyoruz. Bu gündem içinde yine sıklıkla duyduğumuz “Üssel Artış” ifadesi, acaba ne demektir? şeklinde düşünmemizi sağlıyordur.

Corona & Üssel Artış

Gelin, bugün bu “Üssel Artış” meselesini açıklığa kavuşturalım;

Öncelikle kıyaslayabilmek için “Doğrusal Artış”ın ne olduğunu anlayalım ve sonra da iki artış miktarı arasındaki farkları yorumlayalım.

 

Matematik doğrusal olmayı “ax + b” şeklinde ifade etmektedir (a ve b’yi şimdiye kadar öğrendiğiniz sayılar olarak düşünebilirsiniz). Hatta bu tür ifadelere “Lineer denklemler” de denilmektedir. Bu doğrusal ifadenin bir de şekli, daha doğrusu grafiği vardır. İnsan hafızası şekilleri daha iyi tutabildiği için şekillerden faydalanmak öğrenme için son derece gereklidir. Bu nedenle doğrusal ifadeyi, iki reel sayı ekseninin dik kesişmesinden oluşan koordinat ekseninde göstermek için noktalardan oluşan bir yapıya dönüştürmeliyiz.

Eksende dikey eksen “y” ekseni, yatay eksen ise “x” ekseni olarak adlandırılır. “x” ekseni Reel sayılar ekseni olarak da sıklıkla kullanılır. Örneğin 2 rakamını eksende göstermek istediğimizde yerini bulmak son derece kolaydır.

Benzer şekilde 3/2 kesrini de kolayca gösterebiliriz (Yer bildiren okun 1 ve 2’nin tam ortasında olduğu kabul edilmiştir).

Aynı şekilde  = 2,23606….. sayısını da gösterebiliriz (Eksende 2 ve 3 arası on eşit parçaya bölünmüş ve  sayısı, 2.ve 3. parça arasına yerleştirilmiştir).

Eğer reel sayı ekseninde göstermek istediğiniz sayılar negatif sayılar ise bu defa aynı işlemi sıfırın solunda yapmanız gerekecektir. Bir boyutlu olarak ifade edilen reel eksende sayıları göstermek kısmen daha kolaydır.

 

Kartezyen Koordinat Sistemi

Bu arada yine sıklıkla duyduğumuz kavramının ne olduğuna yeri gelmişken değinmekte fayda olacaktır. Boyut, uzayda belirtmek istediğimiz şey için gereken minimum koordinat sayısıdır. Örneğin iki boyutlu olarak (x,y) ikililerden bahsettiğimiz gibi en – boy gibi daha iyi bildiğimiz kavramları da kastediyor olabileceğiz.

Az önce sayı ekseninde gösterdiğimiz rakam ve sayılar bir boyutlu bir eksen üzerindedir. Çünkü sayıları belirtmek için sadece bir koordinat yeterliydi. Ancak (x,y) gibi ikilileri tek bir sayı ekseninde gösteremeyiz. Bu nedenle bir reel sayı eksenine daha ihtiyaç duyarız. Bu nedenle de yazının başlarında gösterdiğim reel sayı eksenlerinin dik kesişmesinden oluşan bir koordinat ekseni oluşturulmuştur. Bu eksen iki boyutludur. Çünkü eksen üzerinde her hangi bir şeyin yerini göstermek için iki koordinat gereklidir x ve y gibi. (x,y) ikilisinin yerini göstermek için önce ilk yazılan sayı yatay eksen üzerinden bulunur ve ardından ikinci sayı dikey eksen üzerinde belirlenir. Ardından belirlenen noktalardan eksenlere paralel çizgiler çekilir ve çizgilerin dik kesiştiği köşe (x,y) ikilisinin yeri olur.

Örnek olarak, A(1,2), B(-1,1), C(-2,-3), D(4,-2) noktalarını eksende gösterelim.

Bu gösterimleri yapabilmekte son derece kolaydır.

Geometrik Şekiller

Kare, üçgen gibi şekillerin neden iki boyutlu olarak adlandırıldığı artık daha net anlaşılmış olmalıdır. Aşağıda verdiğim eksen üzerindeki gösterime de bakmak da faydalı olacaktır.

Ancak Silindir, Küp gibi nesneleri ifade etmek için iki koordinat yetmeyecektir. Çünkü bu nesneler uzayda bir en, boy ve yüksekliğe sahiplerdir. Aşağıdaki gösterim anlatmak istediğimi özetlemektedir.

Boyut konusuna biraz değindikten sonra doğrusal artışın nasıl olacağını gösterebiliriz.

 

Doğrusal Artış

Doğrunun “ax+b” şeklinde ifade edildiğini görmüştük. Doğrusal artışı anlamanın en kolay yolu koordinat ekseninde belirttiği grafiği görmektir. Koordinat ekseninde gösterim için bir “x” ve bir “y” bileşenine ihtiyacımız olacaktır. Bu nedenle doğrusal ifademizi “y” ye eşitleyebiliriz;

“y = ax+b” eşitliğiyle ihtiyacımız olan iki değere de ulaşabileceğiz.

Örnek olarak, y = 2x+1 eşitliğiyle ihtiyacımız olan her iki değeri de bulabiliriz. Bunun için x’e bazı değerler vererek y’nin aldığı değerleri bulabilir ve bulduğumuz değerleri koordinat ekseninde gösterebiliriz.

X = 0 için; y = 2.0 – 4 = -4              (0,-4)

X = 1 için; y = 2.1 – 4 = -2              (1,-2)

X = 2 için; y = 2.2 – 4 = -0              (2,0)

X = 3 için; y = 2.3 – 4 =  2              (3,2)

X = 4 için; y = 2.4 – 4 =  4              (4,4)

X = 5 için; y = 2.5 – 4 =  6              (5,6)

Noktaları koordinat ekseni üzerinde gösterdiğimiz de doğrunun grafiğini ve artış miktarını görmüş olacağız. Ancak öncesinde yukarıdaki değerleri incelediğimizde x’lerin her 1 birimlik artışının y’nin değerini 2 birim arttırdığını görüyoruz. Ayrıca bu artış miktarının x’in değerlerinin değişiminden etkilenmediğini anlıyoruz. Bu sabit artış miktarlı büyümeye “Doğrusal Artış” denir. Şimdi grafiğimizi çizebiliriz;

Doğrusal artışın birim miktar değişimlerde sabit miktarda artış olduğunu anlamış bulunuyoruz. Şimdi “Üssel Artışı” ın ne olduğunu anlamaya çalışalım;

Üssel Artış

Matematikte üslü ifade dendiğinde, bahsedilen sembolün sağ üst köşesinde sayı veya sembollerin olduğu anlaşılır (Bu arada yazımızda geçen reel sayılar, üslü sayılar gibi sayı kümelerinin gerekli aksiyom, tanım ve teorilerle kanıtlandığı kabul edilmiştir. Aksi durumda gerekli yapının kurulması bir ders kitabı olabilecek uzunlukta olacaktır). Aşağıda üslü ifade örnekleri verilmiştir;

x= x.x.x……x ; x üssü x şeklinde okunan ifade, x’in x defa çarpılacağı anlamına gelir.

2= 2.2.2  ifadesi 2 üssü 3 diye okunur ve 2’yi 3 defa çarpmamız gerektiğini bildirir.

2= 8, benzer mantıkla bu üslü sayının eşitinin 8 olduğunu kolayca buluruz.

Şimdi üslü arştı anlayabilmek için yine koordinat ekseninde gösterebileceğimiz bir eşitlik oluşturalım;

Koordinat ekseni için bir x ve bir y’ye ihtiyacımız olduğunu artık biliyoruz. Bunu üslü bir ifade şeklinde oluşturmalıyız.

“y = Ax” Grafiği

y = 3x  şeklinde bir eşitlik yazalım. Bu defa yine üssel artışın nasıl olduğunu anlayabilmek için x’e verdiğimiz bazı değerlere karşın y’nin aldığı değerleri yazalım;

x = 0 için y = 30 = 1 ; (sıfırıncı kuvvetin 1 e eşit olduğu kabul edilir)

x = 1 için y = 31 = 3 ; (3’ün kendisi)

x = 2 için y = 32 = 9 ; (3.3 = 9)

x = 3 için y = 33 = 27 ; (3.3.3 = 27)

x = 4 için y = 34 = 81 ; (3.3.3.3 = 81)

x = 5 için y = 35 = 243 ; (3.3.3.3.3 = 243)

Yukarıdaki x’in her bir birimlik değişimine karşın y’nin artış miktarının sabit olmadığı görülüyor. X’in ilk bir birimlik artışında y, 2 birim artarken x’in ikinci bir birimlik artışında bu defa y, 6 birim artmıştır. Y’nin bir sonraki artış miktarı 18 birim, sonraki artışı 54 birim olmuştur. Bu artış miktarında sabit bir artış miktarı yoktur, sabit bir artış oranı vardır. Her bir artış miktarında y’nin ulaştığı değerlerin oranlarının sabit olduğunu görebiliriz; 1/3 = 3/9 = 9/27 = 27/81 = 81/243

Yine üslü artışı tam görebilmemiz için y = 3x eşitliğini grafik olarak da gösterelim;

(Bu üssel artış grafiğinin corona artış grafiğine olan benzerliği dikkatinizden kaçmamıştır.)

Üssel Artış – Corona Hangi Hızda Yayılıyor?

Artık her iki artışın nasıl olduğunu biliyoruz. Corona artışının hangi atış biçimine göre gerçekleştiğini sezgilerimizin dışında sayısal olarak da görebiliriz. Bunun için öncelikle hastalığın nasıl yayıldığı ile ilgili bir modelimiz olmalıdır. Öncelikle ilk Hasta sayımızı H0 ile ifade edelim ve her hastanın bir günde x kişiye hastalığı bulaştırdığını kabul edelim. Bu yayılma modeliyle hastalığın nasıl yayıldığına bakalım (Birinci gün hasta sayısını Hile ikinci gün Hile ve devam eden günler benzer numaralandırma mantığı ile gösterilecektir);

 

İlk gün Hvar ve H0.x kişiye de bulaştırdığını kabul ettiğimizden ilk ; H= H+ H0.x hasta olacaktır. 1.Gün hasta sayımızı; H= H+ H0.x , şeklinde ifade edebiliriz. 2.Gün Holan hasta sayısına ve H1.x yeni enfekte olan kişiyi de eklediğimiz de hasta sayısı, H= H+ H1.x olacaktır. Hyerine, H+ H0.x  yazdığımızda;

H= H+ H0.x + (H+ H0.x)x = (H+ H0.x)(1+x) = H(1+x)(1+x)

H= H0(1 + x)2  olacaktır. Benzer şeklide diğer günleri de yazdığınızda şu şeklide bir artış ortaya çıkacaktır;

1.Gün;  = H= H0(1 + x)1

2.Gün;  = H= H0(1 + x)2

3.Gün;  = H= H0(1 + x)3

4.Gün;  = H= H0(1 + x)4

.

.

n.Gün;  = H= H0(1 + x)n

Modelleme – Corona Hangi Hızda Yayılıyor?

Hastalığın yayılma modelinde her gün yaşanacak artışın ilk hasta sayısının (1+x)’in gün sayısı kuvvetiyle çarpılmasında elde edilebileceği görülüyor. Model üslü bir ifadeyi içerdiğinde hastalık üssel bir şekilde artacaktır (Ancak enfekte olmuş kişiyle karşılaşan kişi sayısı ve bağışıklık gibi birçok faktör bu modelde ihmal edildiğinden artış bu denli sabit oranla gerçekleşmeyecektir).

Günlük hasta sayısını bulabilmenin yanında virüsün yayılma hızını da hesaplayabiliriz. Virüsün yayılma hızını vy ile ifade edelim. vy, burada ihmal edilen diğer değişkenlerin dışında kişi / kişilerin karşılaştıkları kişi sayısına ve bulaşma oranının çarpımına da bağlıdır. Yayılma hızını şöyle ifade edebiliriz;

vy = = i.b           (i: enfekte olan kişiyle karşılaşan kişi sayısı, b: hastalığın bulaşma oranı

 

Örneğin bulaşma oranı 0.01 olduğu bir salgında hasta olan kişi günde 100 kişiyle karşılaşırsa ve her karşılaştığı kişiye de bulaştırdığını kabul edersek o gün 1 kişiye daha hastalık bulaşır. Her gün 1000 kişiyle karşılaşırsa 10 yeni hasta, 10.000 kişiyle karşılaşırsa 100 yeni hasta olacaktır. Binlerce hasta kişi olduğu düşünülürse artışın her gün binlerce kişiye varacağı kolayca anlaşılır

Türkiye ve İtalya Verilerinin Karşılaştırılması

Şimdi, salgından en çok etkilenen İtalya’nın corona verilerini inceleyelim ve Türkiye için tahmini bir tablo oluşturalım;

İTALYA TÜRKİYE
TARİH HASTA SAYISI BULAŞMAORANI TARİH HASTA SAYISI BULAŞMA

ORANI

19 ŞUBAT 3 19 ŞUBAT
20 ŞUBAT 4 0.75 20 ŞUBAT
21 ŞUBAT 21 4.25 21 ŞUBAT
22 ŞUBAT 79 2.76 22 ŞUBAT
23 ŞUBAT 157 0.99 23 ŞUBAT
24 ŞUBAT 229 0.46 24 ŞUBAT
25 ŞUBAT 323 0.41 25 ŞUBAT
26 ŞUBAT 470 0.46 26 ŞUBAT
27 ŞUBAT 655 0.39 27 ŞUBAT
28 ŞUBAT 889 0.36 28 ŞUBAT
29 ŞUBAT 1128 0.27 29 ŞUBAT
1 MART 1701 0.51 1 MART
2 MART 2036 0.16 2 MART
3 MART 2502 0.23 3 MART
4 MART 3089 0.23 4 MART
5 MART 3858 0.25 5 MART
6 MART 4636 0.20 6 MART
7 MART 5883 0.27 7 MART
8 MART 7375 0.25 8 MART
9 MART 9172 0.24 9 MART
10 MART 10149 0.11 10 MART 1
11 MART 12462 0.23 11 MART 1
12 MART 15113 0.21 12 MART 1
13 MART 17660 0.17 13 MART 5 4
14 MART 21157 0.20 14 MART 6 0.20
15 MART 24747 0.17 15 MART 18 2
16 MART 27980 0.13 16 MART 47 1.611
17 MART 31506 0.12 17 MART 98 1.085
18 MART 35717 0.13 18 MART 191 0.949
19 MART 41035 0.15 19 MART 359 0.880
20 MART 47021 0.15 20 MART 670 0.866
21 MART 53578 0.14 21 MART 947 0.413
22 MART 59138 0.10 22 MART 1236 0.305
23 MART 63927 0.081 23 MART 1529 0.237
24 MART 69176 0.076 24 MART 1872 0.224
25 MART 74386 0.075 25 MART 2433 0.299
26 MART 80589 0.083 26 MART 3629 0.491
27 MART 86498 0.073 27 MART 5698 0.570
28 MART 92472 0.069 28 MART 7402 0.299
29 MART 97689 0.056 29 MART 9217 0.245
30 MART 101739 0.041 30 MART 10827 0.175
31 MART 105792 0.040 31 MART 13531 0.250
1 NİSAN 110574 0.045 1 NİSAN 15679 0.159
2 NİSAN 115242 0.042 2 NİSAN 18135 0.157
3 NİSAN 119827 0.040 3 NİSAN 20921 0.153
4 NİSAN 124632 0.040 4 NİSAN 23934 0.144
5 NİSAN 128948 0.034 5 NİSAN 27069 0.131
6 NİSAN 132547 0.028 6 NİSAN 30217 0.116
7 NİSAN 135586 0.023 7 NİSAN 34109 0.129

Tablo Ne Söylüyor?

Tabloda verilen skorların bazılarını inceleyelim. Örneğin 01 Mart’ta 1701 olan hasta sayısı 02 Mart’ta 2036’ya çıkmıştır. Yani bir günde 335 kişiye daha virüs bulaşmıştır. Yeni hasta sayısı olan 335’i bir önceki gündeki hasta sayısı ile oranladığımızda hastalığın bulaşma oranını o gün için tespit etmiş oluruz; 335/1701 = 0.196. Bu veri bize şu bilgiyi verir; 0 gün, enfekte olan 10 kişi 10 x 0.196 = 1.96 kişiye, 100 kişi    100 x 0.196 = 19.6 kişiye, 1000 kişi 1000 x 0.196 = 196 kişiye virüsü bulaştıracağı anlamına gelir.

İtalya’da hastalığın bulaşma oranı ve dolayısıyla yayılma hızının düşmesine rağmen hasta sayısının 130 binin üzerinde olması nedeniyle her gün üç – dört bin yeni vaka tespit edilmektedir. Yapılan test sayısı, insan bağışıklığı gibi birçok faktörün yeni vaka sayısında etkili olduğunu yazımda daha öncede belirtmiştim.

 

Üssel Artış İçin Projeksiyon

Ayrıca virüsün bulaşma hızındaki düşmenin 19 Mart 2020 tarihinde alınan sokağa çıkma yasağını takip eden birkaç gün içinde gerçekleşmeye başladığı görülüyor. Bir diğer sonuç ise 7 Nisan 2020 tarihi itibariyle virüsün ülkemizdeki bulaşma oranının İtalya’nın yaklaşık 6 katı olduğu görülüyor. Bu veri bize toplumsal izolasyona daha fazla dikkat etmemiz gerektiğini ve kurallara uymanın son derece gerekli olduğunu gösteriyor. Evinizde kalın, sağlıklı kalın.

Aşağıdaki tablo ülkemizde virüsün tahmini yayılması ile ilgili verileri içermektedir. Toplumsal izolasyona devam edilmesi, sağlıklı beslenme, düzenli uyku ve iyi bir psikoloji ile umuyorum ki aşağıdaki tabloya ulaşılmayacaktır.

TARİH HASTA SAYISI BULAŞMA

ORANI

12 NİSAN 59042 0.12
17 NİSAN 95086 0.1
22 NİSAN 139709 0.08
1 MAYIS 236029 0.06

Yazar : Soner Polat

Kaynak için tıklayınız.

No Comments

Sorry, the comment form is closed at this time.